設向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{A}$ 和 $\overset{\large\rightharpoonup}{B}$ 滿足 $|\overset{\large\rightharpoonup}{A}| = 1$，$|\overset{\large\rightharpoonup}{B}| = 2$，且夾角為 $60^\circ$。\\ 計算其內積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{B} = |\overset{\large\rightharpoonup}{A}| |\overset{\large\rightharpoonup}{B}| \cos 60^\circ = 1 \times 2 \times \dfrac{1}{2} = 1$$ 考慮目標內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = (\overset{\large\rightharpoonup}{A} + \overset{\large\rightharpoonup}{B}) \cdot (x\overset{\large\rightharpoonup}{A} + y\overset{\large\rightharpoonup}{B}) = x|\overset{\large\rightharpoonup}{A}|^2 + y|\overset{\large\rightharpoonup}{B}|^2 + (x + y)(\overset{\large\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{B})$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v} = x(1)^2 + y(2)^2 + (x + y)(1) = 2x + 5y$$ 可行區間由以下不等式決定： 1. $6 \le x + y \le 8$ 2. $-2 \le x - y \le 0 \implies 0 \le y - x \le 2$ 這在平面上代表一個平行四邊形，其四個頂點為： - 聯立 $x + y = 6$ 且 $y - x = 0 \implies (3, 3)$ - 聯立 $x + y = 6$ 且 $y - x = 2 \implies (2, 4)$ - 聯立 $x + y = 8$ 且 $y - x = 2 \implies (3, 5)$ - 聯立 $x + y = 8$ 且 $y - x = 0 \implies (4, 4)$ 將頂點代入目標函數 $2x + 5y$： - 代入 $(3,3)$ 得 $2(3) + 5(3) = 21$ - 代入 $(2,4)$ 得 $2(2) + 5(4) = 24$ - 代入 $(3,5)$ 得 $2(3) + 5(5) = 31$ - 代入 $(4,4)$ 得 $2(4) + 5(4) = 28$ 故內積的最大值為 $31$，此時 $(x,y) = (3, 5)$。