在坐標平面上，設 $O$ 為原點，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{a} = (1,2)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{b} = (2,1)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{c} = (1,1)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{d} = (-1,1)$。$P$ 為平面上的動點，令點集合 $A = \{P \mid \overset{\large\rightharpoonup}{OP} = x\overset{\large\rightharpoonup}{a} + y\overset{\large\rightharpoonup}{b} \text{ 且 } 0 \le x \le 1 \text{ 且 } 0 \le y \le 1\}$，點集合 $B = \{P \mid \overset{\large\rightharpoonup}{OP} = x\overset{\large\rightharpoonup}{c} + y\overset{\large\rightharpoonup}{d} \text{ 且 } 0 \le x \le 1 \text{ 且 } 0 \le y \le 1\}$，則區域 $A \cap B$ 的面積為 ____ （化為最簡分數）。
詳解
集合 $A$ 與 $B$ 均為坐標平面上的平行四邊形區域。
$A$ 的頂點為 $(0,0)$, $(1,2)$, $(3,3)$, $(2,1)$。
其邊界直線方程式為：
- 經過 $(0,0)$ 與 $(2,1)$ 的直線為 $x - 2y = 0$
- 經過 $(1,2)$ 與 $(3,3)$ 的直線為 $x - 2y = -3$
- 經過 $(0,0)$ 與 $(1,2)$ 的直線為 $2x - y = 0$
- 經過 $(2,1)$ 與 $(3,3)$ 的直線為 $2x - y = 3$
因此，平行四邊形 $A$ 內的點滿足：
$$0 \le 2y - x \le 3 \ \ \text{且} \ \ 0 \le 2x - y \le 3$$
$B$ 的頂點為 $(0,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, $(-1,1)$。
其邊界由 $x+y=0, x+y=2$ 與 $y-x=0, y-x=2$ 組成。
因此，平行四邊形 $B$ 內的點滿足：
$$0 \le x+y \le 2 \ \ \text{且} \ \ 0 \le y-x \le 2$$
我們要求區域 $A \cap B$ 的面積。由於 $B$ 內任何點皆滿足 $y \ge |x|$，
當 $x < 0$ 時，由 $y \ge -x > 0$，我們有 $2x - y < 0$，這與 $A$ 區域的條件 $2x - y \ge 0$ 矛盾。
因此，相交區域 $A \cap B$ 僅能存在於 $x \ge 0$ 的第一象限。
在第一象限中，對照 $A$ 的邊界 $2x \ge y \implies y \le 2x$ 且 $2y \ge x \implies y \ge \dfrac{x}{2}$；
與 $B$ 的邊界 $y \ge x$ 且 $x+y \le 2 \implies y \le 2-x$。
因此，相交區域由以下邊界包圍：
- $y = x$
- $y = 2x$
- $y = 2 - x$
這是一個三角形區域，其三個頂點為：
- $y=x$ 與 $y=2x$ 的交點：$O(0,0)$。
- $y=x$ 與 $y=2-x$ 的交點：$(1,1)$。
- $y=2x$ 與 $y=2-x$ 的交點：$(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3})$。
該三角形的面積為：
$$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \left| 1 \cdot \dfrac{4}{3} - 1 \cdot \dfrac{2}{3} \right| = \dfrac{1}{3}$$