在 $\Delta ABC$ 中，令 $c = \overline{AB} = 5$，角 $B = \angle ABC$ 的餘弦值為 $\cos B = -\dfrac{3}{5}$。 因為 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ 且 $\sin B > 0$（三角形內角），所以： $$\sin B = \sqrt{1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{4}{5}$$ 已知外接圓半徑 $R = \dfrac{13}{2}$。由正弦定理： $$\dfrac{b}{\sin B} = 2R \implies b = 2R \sin B = 2\left(\dfrac{13}{2}\right)\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{52}{5}$$ 接著使用餘弦定理求 $a = \overline{BC}$ 的長度： $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \implies \left(\dfrac{52}{5}\right)^2 = a^2 + 5^2 - 2a(5)\left(-\dfrac{3}{5}\right)$$ $$\dfrac{2704}{25} = a^2 + 25 + 6a$$ 同乘 $25$ 整理得： $$25a^2 + 150a - 2079 = 0$$ 利用公式解求 $a$： $$\Delta = 150^2 - 4(25)(-2079) = 22500 + 207900 = 230400 = 480^2$$ $$a = \dfrac{-150 \pm 480}{50}$$ 因為邊長 $a > 0$，所以取正值： $$a = \dfrac{330}{50} = \dfrac{33}{5}$$ 最後，再由正弦定理求 $\sin \angle BAC$（即 $\sin A$）： $$\dfrac{a}{\sin A} = 2R \implies \sin A = \dfrac{a}{2R} = \dfrac{\frac{33}{5}}{13} = \dfrac{33}{65}$$ 此分數已是最簡分數，故答案為 $\dfrac{33}{65}$。