99指考數學甲選填第10題詳解

1. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overline{AB}=c=5$，$\cos B=-\frac{3}{5}$。因為 $B$ 為三角形內角，所以 $\sin B>0$： $$\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$$ 2. 由正弦定理，$\frac{b}{\sin B}=2R$。已知 $R=\frac{13}{2}$，所以 $$b=2R\sin B=2\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{52}{5}$$ 3. 再由 $\frac{c}{\sin C}=2R$： $$\sin C=\frac{c}{2R}=\frac{5}{13}$$ 因為 $B$ 為鈍角（$\cos B<0$），所以 $C$ 必為銳角，$\cos C>0$： $$\cos C=\sqrt{1-\sin^2 C}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$$ 4. 因為 $A+B+C=180^\circ$，所以 $\sin A=\sin(B+C)$： \begin{aligned} \sin A&=\sin B\cos C+\cos B\sin C\\[4pt] &=\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{5}{13}\\[4pt] &=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65} \end{aligned} 故 $\sin\angle BAC=\frac{33}{65}$。