1. 根據和差化積公式： $$\cos A - \cos B = -2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$$ 將其套用至分母： $$\cos 10x - \cos 12x = -2\sin 11x \sin(-x) = 2\sin 11x \sin x$$ 因此 $f(x) = \sin 11x \sin x$ 恆成立，選項 $(1)$ 正確。 2. 因為對所有實數 $x$，恒有 $|\sin 11x| \le 1$ 且 $|\sin x| \le 1$，故 $|f(x)| = |\sin 11x \sin x| \le 1$ 恆成立，選項 $(2)$ 正確。 3. 測試 $x = \dfrac{\pi}{2}$： - $\sin x = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1$ - $\sin 11x = \sin \dfrac{11\pi}{2} = \sin\left(5\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = -1$ 此時 $f(x) = (-1) \times 1 = -1$。 因為 $|f(x)| \le 1$，故 $f(x)$ 的最小值確實為 $-1$，選項 $(4)$ 正確。 4. 欲使 $f(x) = 1$，需滿足： - $\sin x = 1$ 且 $\sin 11x = 1$：若 $\sin x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}$，代入得 $\sin 11x = -1 \neq 1$，矛盾。 - $\sin x = -1$ 且 $\sin 11x = -1$：若 $\sin x = -1 \Rightarrow x = 2k\pi + \dfrac{3\pi}{2}$，代入得 $\sin 11x = 1 \neq -1$，矛盾。 聽以 $f(x)$ 永遠無法達到 $1$，其最大值必小於 $1$，選項 $(3)$ 錯誤。 5. 當 $\sin x = 0$（即 $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$）時，恒有 $f(x) = 0$，解有無窮多個，選項 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(4)(5)$。