91學測數學補考多選第11題詳解

$(1)$ 由和差化積公式 $$\cos A-\cos B=-2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right),$$ 可得 $$\cos10x-\cos12x=-2\sin11x\sin(-x)=2\sin11x\sin x.$$ 因此 $f(x)=\sin11x\sin x$ 恆成立，正確。 $(2)$ 因為 $|\sin11x|\le1$ 且 $|\sin x|\le1$，所以 $|f(x)|\le1$ 恆成立，正確。 $(3)$ 當 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 時，$\sin x=1$，且 $\sin11x=\sin\dfrac{11\pi}{2}=-1$，此時 $f(x)=-1$。又由 $|f(x)|\le1$，故最小值為 $-1$，正確。 $(4)$ 若 $f(x)=1$，則需 $\sin x$ 與 $\sin11x$ 同時為 $1$，或同時為 $-1$。若 $\sin x=1$，則 $x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$，此時 $\sin11x=-1$；若 $\sin x=-1$，則 $x=2k\pi+\dfrac{3\pi}{2}$，此時 $\sin11x=1$。因此 $f(x)$ 無法達到 $1$，最大值不是 $1$，錯誤。 $(5)$ 當 $\sin x=0$（即 $x=k\pi, k\in\mathbb{Z}$）時，$f(x)=0$，解有無窮多個，正確。 故選 $(1)(2)(4)(5)$。