91學測數學補考多選第9題詳解

1. 根據餘弦定理，對任意三角形，$\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 恆成立，故選項 $(4)$ 必為真。 2. 設 $\angle BCP = C_1$ 且 $\angle ACP = C_2$，則 $C = C_1 + C_2$。由直角三角形定義： - 在直角 $\Delta BPC$ 中，$\sin C_1 = \dfrac{x}{a}$，$\cos C_1 = \dfrac{h}{a}$ - 在直角 $\Delta APC$ 中，$\sin C_2 = \dfrac{y}{b}$，$\cos C_2 = \dfrac{h}{b}$ 利用和角公式展開 $\cos C$： $$\cos C = \cos(C_1 + C_2) = \cos C_1 \cos C_2 - \sin C_1 \sin C_2 = \left(\dfrac{h}{a}\right)\left(\dfrac{h}{b}\right) - \left(\dfrac{x}{a}\right)\left(\dfrac{y}{b}\right) = \dfrac{h^2 - xy}{ab}$$ 故選項 $(5)$ 必為真。 3. 對於選項 $(3)$，因 $A+B+C = 180^\circ \Rightarrow C = 180^\circ - (A+B)$，所以 $\cos C = -\cos(A+B)$，選項 $(3)$ 錯誤。 4. 選項 $(1)$ 與 $(2)$ 可藉由特例（例如等腰直角三角形）檢驗，並不成立。 故選 $(4)(5)$。