由正弦定理可知，三角形的外接圓直徑等於 $\dfrac{\text{邊長}}{\sin(\text{對角})}$。 1. 對於 $\Delta ABC$，其外接圓直徑為： $$c = \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{AB}{\sin 45^\circ}$$ 2. 對於 $\Delta ABD$，角 $\angle ADC$ 與 $\angle ADB$ 互補，故 $\angle ADB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$。由正弦定理其外接圓直徑為： $$d = \dfrac{AB}{\sin \angle ADB} = \dfrac{AB}{\sin 135^\circ} = \dfrac{AB}{\sin 45^\circ}$$ 因此，得到 $c = d$。 3. 對於 $\Delta ABE$，其外接圓直徑為： $$e = \dfrac{AB}{\sin \angle AEB}$$ 觀察 $\Delta AEC$，角 $\angle AEB$ 為其外角，故 $\angle AEB = \angle EAC + \angle C = \angle EAC + 45^\circ > 45^\circ$。 由圖形幾何關係可知 $45^\circ < \angle AEB < 135^\circ$，在此範圍內其正弦值滿足 $\sin \angle AEB > \sin 45^\circ$。 底數變大分式值變小： $$e = \dfrac{AB}{\sin \angle AEB} < \dfrac{AB}{\sin 45^\circ} = c = d$$ 綜上所述，得到 $d = c > e$，故選 $(5)$。