對於雙曲線 $x^2 - y^2 = 1$： - 其中心為 $(0,0)$，對稱軸為 $x$ 軸與 $y$ 軸。因此對稱於 $y$ 軸，選項 $(1)$ 正確。 - 若對稱於直線 $x-y=0$（即 $y=x$），將 $x$ 與 $y$ 互換方程式應保持不變。但互換後得 $y^2-x^2=1$ 與原式不同，故不對稱，選項 $(2)$ 錯誤。 - 其漸近線方程式為 $x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow (x-y)(x+y) = 0$，即 $x+y=0$ 與 $x-y=0$，選項 $(3)$ 正確。 - 由 $a^2=1, b^2=1$ 得 $c^2=a^2+b^2=2 \Rightarrow c=\sqrt{2}$。故焦點為 $(-\sqrt{2}, 0)$ 與 $(\sqrt{2}, 0)$，選項 $(4)$ 錯誤。 - 頂點為 $(\pm a, 0) = (\pm 1, 0)$，即 $(-1,0)$ 及 $(1,0)$，選項 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(3)(5)$。