利用倍角公式：$\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{2}\sin 2\theta$ 各選項的值： $$\begin{aligned} (1)\ &\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 40^\circ \\ (2)\ &\sin 35^\circ \cos 35^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 70^\circ \\ (3)\ &\sin 50^\circ \cos 50^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 100^\circ \\ (4)\ &\sin 65^\circ \cos 65^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 130^\circ \\ (5)\ &\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 160^\circ \end{aligned}$$ $\sin$ 函數在 $[0^\circ,90^\circ]$ 遞增，在 $[90^\circ,180^\circ]$ 遞減且 $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$： $$\sin 100^\circ = \sin 80^\circ > \sin 70^\circ > \sin 40^\circ$$ $$\sin 130^\circ = \sin 50^\circ < \sin 80^\circ$$ $$\sin 160^\circ = \sin 20^\circ < \sin 40^\circ$$ 故 $\sin 100^\circ$ 最大，即選項 $(3)$ 的值最大。