對不等式取 $\log_{10}$： $$\log_{10} 100 \le n \cdot \log_{10} 1.5 \le \log_{10} 500$$ 已知 $\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$： $$\log_{10} 1.5 = \log_{10}\frac{3}{2} = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761$$ $$\log_{10} 100 = 2$$ $$\log_{10} 500 = \log_{10}\frac{1000}{2} = 3 - 0.3010 = 2.699$$ 因此： $$n \ge \frac{2}{0.1761} \approx 11.36 \implies n \ge 12$$ $$n \le \frac{2.699}{0.1761} \approx 15.33 \implies n \le 15$$ 滿足的正整數 $n = 12, 13, 14, 15$，共 $4$ 個，選 $(2)$。