令 $h(x) = f(x) - x$。 因為 $f(x)$ 是最高次項係數為 $1$ 的三次實係數多項式，所以 $h(x)$ 也是最高次項係數為 $1$ 的三次實係數多項式。 由已知條件 $f(1)=1, f(2)=2, f(5)=5$ 可知： $$h(1) = 0,\ \ h(2) = 0,\ \ h(5) = 0$$ 這表示 $1, 2, 5$ 為 $h(x) = 0$ 的三個根，因此可將 $h(x)$ 寫成： $$h(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$$ 進而求得 $f(x)$： $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-5) + x$$ 我們利用勘根定理 (Intermediate Value Theorem) 討論 $f(x) = 0$ 的根分布。計算各端點的函數值： - $f(0) = (0-1)(0-2)(0-5) + 0 = -10 < 0$ - $f(1) = 1 > 0$ - $f(2) = 2 > 0$ - $f(3) = (3-1)(3-2)(3-5) + 3 = 2 \times 1 \times (-2) + 3 = -1 < 0$ - $f(5) = 5 > 0$ 分析如下： - 因為 $f(0) < 0$ 且 $f(1) > 0$，由勘根定理可知，在區間 $(0, 1)$ 內必有實根，故選 $(2)$。 - 因為 $f(2) > 0$ 且 $f(3) < 0$，在區間 $(2, 3)$ 內必有實根；又 $f(3) < 0$ 且 $f(5) > 0$，在區間 $(3, 5)$ 內亦必有實根。這兩個根皆落在區間 $(2, 5)$ 內，故選 $(4)$。 - 因為 $f(x)$ 為三次多項式，最多只有三個實根，所以已找齊所有實根（分別在 $(0,1)$、$(2,3)$、$(3,5)$）。因此其他區間 $(-\infty, 0)$、$(1, 2)$、$(5, \infty)$ 內皆無實根。 故正確選項為 $(2)(4)$。