97指考數學乙多選第6題詳解

由於 $k<l<m<n$ 為相異正整數，若 $k\ge3$，則四數之和至少為 $3+4+5+6=18>16$，不可能。因此 $k$ 只能是 $1$ 或 $2$。 當 $k=2$ 時，符合條件的整數解只有 $(2,3,4,7)$ 與 $(2,3,5,6)$。為了保證 $k=1$，所加條件必須排除這兩組解。 $(1)$ 在 $(2,3,4,7)$ 中，$l=3$ 為奇數、$m=4$ 為偶數，已滿足條件，因此無法排除 $k=2$，錯誤。 $(2)$ 若 $l,m$ 皆為偶數，兩組 $k=2$ 的解都有 $l=3$，均不符合條件，因此可排除 $k=2$；又有 $k=1$ 且符合條件的解，例如 $(1,2,4,9)$，正確。 $(3)$ 若四數成等差數列，設公差為 $d>0$，則 $$ 4k+6d=16\implies2k+3d=8. $$ 唯一的正整數解為 $(k,d)=(1,2)$，正確。 $(4)$ $(2,3,4,7)$ 中 $l=3,n=7$ 皆為奇數，滿足條件，錯誤。 $(5)$ $(2,3,5,6)$ 中 $l=3,m=5$ 皆為奇數，滿足條件，錯誤。 故選 $(2)(3)$。