96指考數學乙選填第9題詳解

由定義，格子點 $(a,b)$ 在第 $n$ 層，代表： $$\max(|a|, |b|) = n$$ 這意味著坐標 $(a,b)$ 滿足 $-n \le a \le n$ 且 $-n \le b \le n$，並且 $a, b$ 中至少有一者的絕對值為 $n$。 因為 $\max(|a|, |b|) = n$ 表示點落在邊長 $2n$ 的正方形邊界上，所以這些格子點恰好位於坐標平面上以原點為中心、四邊分別與坐標軸平行的正方形邊界上： 1. 正方形（$x\in[-n,n],\;y\in[-n,n]$）內的整數格子點總數為： $$(2n+1) \times (2n+1) = (2n+1)^2 \text{ 個}$$ 2. 扣除正方形內層（$x\in[-n+1,n-1],\;y\in[-n+1,n-1]$）的整數格子點數： $$(2n-1) \times (2n-1) = (2n-1)^2 \text{ 個}$$ 因此，屬於第 $n$ 層邊界上的格子點個數為： $$\text{點數} = (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n \text{ 個}$$ 當 $n = 15$ 時，第 $15$ 層的格子點個數為： $$8 \times 15 = 120 \text{ 個}$$ 故填入 $120$。