111分科測驗數學甲多選第7題詳解

因為拋物線上任一點到焦點的距離等於到準線的距離， 所以 $\overline{AF}=\overline{A'A}$、$\overline{BF}=\overline{B'B}$。 因為 $\overline{AF}=\overline{A'A}$，所以 $$\frac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}} = \frac{\overline{A'F'}}{\overline{AF}} = \sin\angle 3,$$ 故 $(3)$ 正確。 因為 $A,F,B$ 共線，$\overline{AB}$ 是通過焦點的焦弦， 由拋物線焦弦性質可得 $\frac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}} = \frac{\overline{B'F'}}{\overline{B'B}}$。 在直角三角形 $F'B'B$ 中， $$\frac{\overline{B'F'}}{\overline{B'B}} = \tan\angle FF'B = \tan\angle 5,$$ 所以 $(5)$ 正確。 $(1)$ $\tan\angle1 = \frac{\overline{A'F'}}{\overline{FF'}} \neq \frac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}$。 $(2)$ $\sin\angle2 = \frac{\overline{A'F'}}{\overline{AF}}$，但 $\overline{AF}=\overline{A'A}$ 只在 $A$ 為頂點時才使分母變為 $\overline{AF}$ 與 $\overline{A'A}$ 相等，且 $\angle2 \neq \angle3$，故不相等。 $(4)$ $\cos\angle4 = \frac{\overline{F'B}}{\overline{FB}} \neq \frac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}$。 因此 $(1)(2)(4)$ 皆誤，正確選項為 $(3)(5)$。 故選 $(3)(5)$。