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113分科測驗數學甲單選第2題詳解

📅 113 年 📝 分科測驗數學甲 第 2 題 題型：單選 課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$(2)$

本題考點：坐標幾何、平面上的坐標變換、橢圓、二次曲線

題目

坐標平面上，橢圓 $\Gamma$ 的方程式為 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{6^2}=1$（其中 $a$ 為正實數）。若將 $\Gamma$ 以原點 $O$ 為中心，沿 $x$ 軸方向伸縮為 $2$ 倍、沿 $y$ 軸方向伸縮為 $3$ 倍後，所得到的新圖形會通過點 $(18,0)$。試問下列哪一個選項是 $\Gamma$ 的焦點？
  1. $(0,3\sqrt{3})$
  2. $(-3\sqrt{5},0)$
  3. $(0,6\sqrt{13})$
  4. $(-3\sqrt{13},0)$
  5. $(9,0)$
坐標幾何平面上的坐標變換橢圓二次曲線
解題手法坐標化〔AI 推測〕

答案

答案

$(2)$

詳解

詳解
伸縮後新橢圓在 $x$ 軸方向的半軸長為 $2a$、$y$ 軸方向的半軸長為 $3\times 6=18$。 因為新圖形通過 $(18,0)$，所以 $2a=18$，得 $a=9$。 原橢圓為 $\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{6^2}=1$，焦距 $c$ 滿足 $c^2=9^2-6^2=81-36=45$， 所以 $c=3\sqrt{5}$，焦點為 $(\pm 3\sqrt{5},0)$。 選項中符合者為 $(-3\sqrt{5},0)$。 故選 $(2)$。

題目來源：民國113年分科測驗數學甲 第2題（來源PDF第2頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈113分科測驗數學甲單選第2題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/113_0XA_q02.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。