113 分科測驗數學甲第 2 題

Question

坐標平面上，橢圓 $\Gamma$ 的方程式為 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{6^2}=1$（其中 $a$ 為正實數）。若將 $\Gamma$ 以原點 $O$ 為中心，沿 $x$ 軸方向伸縮為 $2$ 倍、沿 $y$ 軸方向伸縮為 $3$ 倍後，所得到的新圖形會通過點 $(18,0)$。試問下列哪一個選項是 $\Gamma$ 的焦點？

Accepted Answer

答案：$(2)$
伸縮後新橢圓的 $x$ 半軸為 $2a$、$y$ 半軸為 $18$。因新圖形通過 $(18,0)$，故 $2a=18$，所以 $a=9$。原橢圓為 $\dfrac{x^2}{9^2}+\dfrac{y^2}{6^2}=1$，焦距 $c$ 滿足 $c^2=9^2-6^2=45$，故焦點為 $(\pm 3\sqrt{5},0)$，選項中符合的是 $(-3\sqrt{5},0)$，選 $(2)$。