由微積分基本定理，$\int_0^a f'(x) dx = f(a) - f(0) = 0$。因為 $f(x) = x(x-1)(x^3-2)$，所以 $f(0) = 0$。 方程式 $f(a) - f(0) = 0 \implies f(a) = 0 \implies a(a-1)(a^3-2) = 0$。 其實數解為 $a = 0$、 $a = 1$、 $a = 2^{1/3}$（共 $3$ 個實數解）。故選 $(3)$。