108指考數學甲非選第13題詳解

（一） 1. 將 $x = 1$ 代入原式 $x f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$： $$1 \cdot f(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 + 1^2 + \int_1^1 f(t) dt$$ 因為 $\int_1^1 f(t) dt = 0$，所以 $f(1) = 3 - 2 + 1 + 0 = 2$。 故 $f(1) = 2$。 （二） 1. 對原式 $x f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt$ 等號兩邊關於 $x$ 微分。 利用乘積律與微積分基本定理： $$\frac{d}{dx}[x f(x)] = \frac{d}{dx}[3x^4 - 2x^3 + x^2] + \frac{d}{dx}\int_1^x f(t) dt$$ $$f(x) + x f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 2x + f(x)$$ 2. 因為兩邊的 $f(x)$ 可消去，所以 $x f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 2x$。 又因為 $x \ge 1$（$x \neq 0$），所以可同除以 $x$： $$f'(x) = 12x^2 - 6x + 2$$ 故 $f'(x) = 12x^2 - 6x + 2$。 （三） 1. 對 $f'(x)$ 進行不定積分還原 $f(x)$： $$f(x) = \int (12x^2 - 6x + 2) dx = 4x^3 - 3x^2 + 2x + C$$ 2. 利用（一）的結果 $f(1) = 2$ 求積分常數 $C$： $$f(1) = 4(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) + C = 4 - 3 + 2 + C = 3 + C = 2$$ 所以 $C = -1$。 $$f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$$ 故 $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$。 （四） 1. 令 $G(a) = \int_0^a f(x) dx$，計算此積分： $$G(a) = \int_0^a (4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) dx = [x^4 - x^3 + x^2 - x]_0^a = a^4 - a^3 + a^2 - a$$ 2. 欲證恰有一個大於 $1$ 的正實數 $a$ 使 $G(a) = 1$。 令 $g(a) = G(a) - 1 = a^4 - a^3 + a^2 - a - 1$。 因為 $g(1) = 1 - 1 + 1 - 1 - 1 = -1 < 0$， 且 $g(2) = 16 - 8 + 4 - 2 - 1 = 9 > 0$， 所以由勘根定理知在區間 $(1, 2)$ 內至少存在一個根。 3. 證明根的唯一性。因為 $g'(a) = 4a^3 - 3a^2 + 2a - 1$。 當 $a > 1$ 時： $$g'(a) = a^2(4a - 3) + (2a - 1) > 1^2 \times (4 \times 1 - 3) + (2 \times 1 - 1) = 1 + 1 = 2 > 0$$ 所以 $g(a)$ 在 $a > 1$ 時為嚴格遞增函數， 因此 $g(a) = 0$ 在 $a > 1$ 恰有一根。 故恰有一個大於 $1$ 的正實數 $a$ 滿足 $\int_0^a f(x) dx = 1$。