（一）將 $x = 1$ 代入原式： $$1 \cdot f(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 + 1^2 + \int_1^1 f(t) dt = 3 - 2 + 1 + 0 = 2$$ 故 $f(1) = 2$。 （二）對原式等號兩邊關於 $x$ 微分（利用微積分基本定理）： $$\dfrac{d}{dx} (x f(x)) = \dfrac{d}{dx} (3x^4 - 2x^3 + x^2 + \int_1^x f(t) dt)$$ $$f(x) + x f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 2x + f(x)$$ $$x f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 2x$$ 由於 $x \ge 1$，故 $f'(x) = 12x^2 - 6x + 2$。 （三）對 $f'(x)$ 進行不定積分： $$f(x) = \int (12x^2 - 6x + 2) dx = 4x^3 - 3x^2 + 2x + C$$ 由（一）知 $f(1) = 4(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) + C = 3 + C = 2 \implies C = -1$ 故 $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$。 （四）令 $G(a) = \int_0^a f(x) dx = \int_0^a (4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) dx$ $$G(a) = \left[ x^4 - x^3 + x^2 - x \right]_0^a = a^4 - a^3 + a^2 - a$$ 欲證恰有一正實數 $a > 1$ 使得 $G(a) = 1$。令 $g(a) = a^4 - a^3 + a^2 - a - 1$： 1. $g(1) = 1 - 1 + 1 - 1 - 1 = -1 < 0$ 2. $\lim\limits_{a \to \infty} g(a) = \infty$（例如 $g(2) = 16 - 8 + 4 - 2 - 1 = 9 > 0$） 根據勘根定理，在 $(1, \infty)$ 區間內至少存在一個根。 3. $g'(a) = 4a^3 - 3a^2 + 2a - 1$。當 $a > 1$ 時： $g'(a) = a^2(4a - 3) + (2a - 1) > a^2(4-3) + (2-1) = a^2 + 1 > 0$ 因為 $g'(a) > 0$，函數 $g(a)$ 在 $(1, \infty)$ 為嚴格遞增，故其根唯一。證畢。