110指考數學甲選填第9題詳解

1. 因為從 $6,8,10,12$ 中任取三個相異數字作為三邊長，所以共有 $C^4_3=4$ 種組合。 2. 因為三角形中最大角對最大邊，所以對每組以餘弦定理計算最大角的 $\cos\theta$。 組合 $(6,8,10)$：最大邊 $10$。 $$\cos\theta=\dfrac{6^2+8^2-10^2}{2\cdot6\cdot8}=\dfrac{36+64-100}{96}=\dfrac{0}{96}=0$$ 組合 $(6,8,12)$：最大邊 $12$。 $$\cos\theta=\dfrac{6^2+8^2-12^2}{2\cdot6\cdot8}=\dfrac{36+64-144}{96}=\dfrac{-44}{96}=-\dfrac{11}{24}$$ 組合 $(6,10,12)$：最大邊 $12$。 $$\cos\theta=\dfrac{6^2+10^2-12^2}{2\cdot6\cdot10}=\dfrac{36+100-144}{120}=\dfrac{-8}{120}=-\dfrac{1}{15}$$ 組合 $(8,10,12)$：最大邊 $12$。 $$\cos\theta=\dfrac{8^2+10^2-12^2}{2\cdot8\cdot10}=\dfrac{64+100-144}{160}=\dfrac{20}{160}=\dfrac{1}{8}$$ 3. 因為四個 $\cos\theta$ 值分別為 $0$、$-\frac{11}{24}$、$-\frac{1}{15}$、$\frac{1}{8}$，所以最小值為 $-\frac{11}{24}$。 故填 $-\frac{11}{24}$。