109 學測數學第 17 題

Question

平面上有一箏形 $ABCD$，其中 $\overline{AB}=\overline{BC}=\sqrt{2}$，$\overline{AD}=\overline{CD}=2$，$\angle BAD=135^\circ$。則 $\overline{AC}$ = ____。（化為最簡根式）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
因 $AB=BC$ 且 $AD=CD$，點 $B,D$ 皆在 $AC$ 的垂直平分線上。設 $A=(-x,0)$、$C=(x,0)$、$B=(0,b)$、$D=(0,d)$，則 $x^2+b^2=2$、$x^2+d^2=4$。由 $\angle BAD=135^\circ$ 得 $x^2+bd=\sqrt{2}\cdot 2\cos 135^\circ=-2$。令 $t=x^2$，則 $(2-t)(4-t)=(2+t)^2$，解得 $t=\dfrac{2}{5}$，所以 $AC=2x=2\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$。