109學測數學選填第18題詳解

1. 設直線 $L$ 與直線 $\overline{BC}$ 的交點為 $H$。因為 $H$ 在直線 $\overline{BC}$ 上，所以可令 $H=B+t\,\overset{\large\rightharpoonup}{CB}$，其中 $t$ 為實數。 2. 計算所需向量： $\overset{\large\rightharpoonup}{CB}=(0-2,\;-4-(-6),\;1-3)=(-2,\;2,\;-2)$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{BA}=(2-1,\;-6-7,\;3-2)=(1,\;-13,\;1)$。 3. 因為 $L$ 通過 $A$ 且垂直於 $\overline{BC}$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{BC}$，即內積為 $0$： $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{CB}=0$。 而 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}=\overset{\large\rightharpoonup}{AB}+t\,\overset{\large\rightharpoonup}{CB}$。 4. 代入內積條件： $$\begin{aligned} \left(\overset{\large\rightharpoonup}{BA}+t\,\overset{\large\rightharpoonup}{CB}\right)\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{CB}&=0 \\ \implies \overset{\large\rightharpoonup}{BA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{CB}+t|\overset{\large\rightharpoonup}{CB}|^2&=0 \end{aligned}$$ $\overset{\large\rightharpoonup}{BA}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{CB}=(1)(-2)+(-13)(2)+(1)(-2)=-2-26-2=-30$ $|\overset{\large\rightharpoonup}{CB}|^2=(-2)^2+2^2+(-2)^2=4+4+4=12$ 得 $-30+12t=0\implies t=\frac{5}{2}$。 5. 交點 $$\begin{aligned} H&=B+\frac{5}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{CB}=(2,-6,3)+\frac{5}{2}(-2,2,-2) \\[4pt] &=(2-5,\;-6+5,\;3-5)=(-3,\;-1,\;-2) \end{aligned}$$ 故填 $(-3,-1,-2)$。