110指考數學甲多選第8題詳解

因為 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 在複數平面上依序連成平行四邊形，所以可經平移使 $z_1=0$、$z_2=a$、$z_4=b$、$z_3=a+b$（其中 $a,b\in\mathbb{C}$）。 選項 $(1)$：$(z_1-z_3)(z_2-z_4)=(-(a+b))(a-b)$。取 $a=1,b=1+i$，得 $(-(2+i))(1-(1+i))=(-2-i)(-i)=2i-1$，不為實數，所以此選項錯誤。 選項 $(2)$：$z_1-z_2+z_3-z_4=0-a+(a+b)-b=0$。因為 $0$ 為實數，所以此選項正確。 選項 $(3)$：$z_1+z_2+z_3+z_4=0+a+(a+b)+b=2a+2b=2(a+b)$。取 $a=1,b=i$，得 $2(1+i)=2+2i$，不為實數，所以此選項錯誤。 選項 $(4)$：$\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}=\frac{-a}{(a+b)-b}=\frac{-a}{a}=-1$。因為 $-1$ 為實數，所以此選項正確。 選項 $(5)$：$\left(\frac{z_2-z_4}{z_1-z_3}\right)^2=\left(\frac{a-b}{-(a+b)}\right)^2$。取 $a=1,b=2i$：$\frac{1-2i}{-1-2i}=\frac{(1-2i)(-1+2i)}{(-1-2i)(-1+2i)}=\frac{-1+2i+2i+4}{1+4}=\frac{3+4i}{5}$，平方得 $\frac{-7+24i}{25}$，不為實數，所以此選項錯誤。 故選 $(2)(4)$。