已知 $|z| = 1$ 且 $|z+1| = 1$。 設 $z = x + iy$，則 $x^2 + y^2 = 1$。 $|z+1|^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 = (x^2 + y^2) + 2x + 1 = 1 + 2x + 1 = 2 + 2x = 1$。 解得 $x = -\dfrac{1}{2}$，則 $y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。 故 $z = -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$，$z+1 = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$。 (1) 正確。點 $A(-1/2, \pm\sqrt{3}/2)$，點 $B(1/2, \pm\sqrt{3}/2)$，其虛部相同，故直線 $AB$ 為水平線，與實數軸平行。 (2) 錯誤。$|OA| = 1$，$|OB| = 1$，$|AB| = |(z+1)-z| = |1| = 1$。三邊長皆為 1，$\triangle OAB$ 為正三角形。 (3) 錯誤。若 $y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，則點 $A$ 在第三象限。 (4) 正確。$z = e^{i \frac{2\pi}{3}}$ 或 $e^{i \frac{4\pi}{3}}$，故 $z^3 = 1$。 (5) 正確。設 $w = 1 + \dfrac{1}{z} = 1 + \bar{z} = 1 + \left(-\dfrac{1}{2} \mp \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$。其模長 $|w| = \sqrt{(1/2)^2 + (\pm\sqrt{3}/2)^2} = 1$，故也在單位圓上。 故選 (1)(4)(5)。