每次用 $20$ 根相同的火柴棒圍成一個三角形，共可圍成 ____ 種不全等的三角形。
詳解
設三角形的三邊長為正整數 $a, b, c$，且不失一般性，設 $a \le b \le c$。
根據題意，三邊長必須滿足以下條件：
1. **周長條件**：
$$a + b + c = 20$$
2. **三角形邊長關係**（任意兩邊之和大於第三邊）：
由於 $c$ 是最大邊，我們只需滿足：
$$a + b > c$$
將 $a + b = 20 - c$ 代入不等式中：
$$20 - c > c \implies 2c < 20 \implies c < 10$$
3. **最大邊之界限**：
因為 $c$ 為最大邊，則 $c \ge b$ 且 $c \ge a$。
因此，有：
$$3c \ge a + b + c = 20 \implies c \ge \dfrac{20}{3} \approx 6.67$$
結合上述，最長邊 $c$ 只能為整數 $7, 8, 9$。我們分情況討論：
- **當 $c = 9$ 時**：
$$a + b = 11 \ \ \text{且} \ \ a \le b \le 9$$
可能的正整數解 $(a, b)$ 為：
$$(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)$$
對應的三角形邊長組合有 $4$ 種。
- **當 $c = 8$ 時**：
$$a + b = 12 \ \ \text{且} \ \ a \le b \le 8$$
可能的正整數解 $(a, b)$ 為：
$$(4, 8), (5, 7), (6, 6)$$
對應的三角形邊長組合有 $3$ 種。
- **當 $c = 7$ 時**：
$$a + b = 13 \ \ \text{且} \ \ a \le b \le 7$$
可能的正整數解 $(a, b)$ 為：
$$(6, 7)$$
對應的三角形邊長組合有 $1$ 種。
將所有情況的組合數加總：
$$\text{總組合數} = 4 + 3 + 1 = 8 \text{ 種}$$
因此，共可圍成 $8$ 種不全等的三角形。