102 指考數學甲第 1 題

Question

設 $z$ 為一複數，且 $\dfrac{z-2}{z+2} = i$（其中 $i = \sqrt{-1}$ 為虛數單位）。試問 $z$ 的絕對值 $|z|$ 為下列哪一個選項？

Accepted Answer

答案：$(5)$
由 $\dfrac{z-2}{z+2} = i$ 得 $z-2 = i(z+2) = iz + 2i$，移項整理得：
$$z(1-i) = 2(1+i).$$
兩邊取絕對值：
$$|z| \cdot |1-i| = 2 \cdot |1+i| \implies |z| \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \implies |z| = 2.$$
故選 $(5)$。