102指考數學甲單選第2題詳解

依題意，各點坐標為： - $P(2, \log_{10} 2)$ - $Q(2, \log_2 2) = Q(2, 1)$ - $R(10, \log_{10} 10) = R(10, 1)$ - $S(10, \log_2 10)$ 因為 $x=2$ 與 $x=10$ 互相平行，四邊形 $PQSR$ 為一梯形，其平行對邊分別為 $\overline{PQ}$ 與 $\overline{RS}$： - 上底 $\overline{PQ} = 1 - \log_{10} 2 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$ - 下底 $\overline{RS} = \log_2 10 - 1 = \frac{1}{\log_{10} 2} - 1 \approx \frac{1}{0.3010} - 1 \approx 3.3223 - 1 = 2.3223$ - 高 $h = 10 - 2 = 8$ 因為上述推導，所以，四邊形 $PQSR$ 的面積為： $$\text{Area} = \frac{\overline{PQ} + \overline{RS}}{2} \times h = \frac{0.6990 + 2.3223}{2} \times 8 \approx 3.0213 \times 4 = 12.0852.$$ 最接近 $12$。故選 $(3)$。