102 指考數學甲第 2 題

Question

坐標平面上，直線 $x = 2$ 分別交函數 $y = \log_{10} x$、 $y = \log_2 x$ 的圖形於 $P$、 $Q$ 兩點；直線 $x = 10$ 分別交函數 $y = \log_{10} x$、 $y = \log_2 x$ 的圖形於 $R$、 $S$ 兩點。試問四邊形 $PQSR$ 的面積最接近下列哪一個選項？（$\log_{10} 2 \approx 0.3010$）

Accepted Answer

答案：$(3)$
依題意，各點坐標為：
- $P(2, \log_{10} 2)$
- $Q(2, \log_2 2) = Q(2, 1)$
- $R(10, \log_{10} 10) = R(10, 1)$
- $S(10, \log_2 10)$

因為 $x=2$ 與 $x=10$ 互相平行，四邊形 $PQSR$ 為一梯形，其平行對邊分別為 $PQ$ 與 $RS$：
- 上底 $PQ = 1 - \log_{10} 2 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$
- 下底 $RS = \log_2 10 - 1 = \dfrac{1}{\log_{10} 2} - 1 \approx \d…