102指考數學甲單選第3題詳解

隨機取出兩球的總方法數為： $$N = C^{8}_{2} = 28.$$ 若兩球中較小的號碼為 $X=k$，則另一顆球的編號必須從 $k+1$ 到 $8$ 號中選取，共有 $8-k$ 種選法。因此，隨機變數 $X$ 取值為 $k$ 的機率為： $$p_k = P(X=k) = \frac{8-k}{28}.$$ 我們要求 $p_k > \frac{1}{5}$，即： $$\frac{8-k}{28} > \frac{1}{5} \implies 40 - 5k > 28 \implies 5k < 12 \implies k < 2.4.$$ 因為 $k$ 必須為正整數，故 $k$ 可為 $1$ 或 $2$： - $p_1 = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} = 0.25 > 0.2$ - $p_2 = \frac{6}{28} = \frac{3}{14} \approx 0.214 > 0.2$ - $p_3 = \frac{5}{28} \approx 0.179 < 0.2$ 因為上述推導，所以滿足條件的 $p_k$ 共有 $2$ 個。故選 $(2)$。