105指考數學甲單選第1題詳解

對數的真數必須大於 $0$，故： - 由 $\log a$ 可得 $a > 0$ - 由 $\log x$ 可得 $x > 0$ - 由 $\log(a - x)$ 可得 $a - x > 0 \implies x < a$ 綜合上述，解 $x$ 必須滿足 $0 < x < a$ 範圍。 化簡原方程式： $$\log a - \log x = \log(a - x) \implies \log\left(\dfrac{a}{x}\right) = \log(a - x)$$ 故： $$\dfrac{a}{x} = a - x \implies a = ax - x^2 \implies x^2 - ax + a = 0$$ 此為 $x$ 的一元二次方程式。若原方程式有兩相異實數解，則此二次方程式之判別式 $D > 0$： $$D = (-a)^2 - 4(1)(a) = a^2 - 4a > 0 \implies a(a - 4) > 0$$ 得 $a > 4$ 或 $a < 0$。 因 $a > 0$，故得 $a > 4$。 在給定的選項中，僅有 $a = 5$ 滿足 $a > 4$ 的條件。故選 $(5)$。