87學測數學多選第10題詳解

設面積與時間的關係為指數函數 $f(t) = a \cdot b^t$。觀察圖 (二)，當 $t=0$ 時面積為 $1$，當 $t=2$ 時面積為 $4$。可得 $a=1$，且 $b^2 = 4 \implies b=2$（底數為正），故函數關係為 $f(t) = 2^t$。 $(1)$ 此指數函數的底數為 $2$，該選項為真。 $(2)$ 當 $t=5$ 時，$f(5) = 2^5 = 32 > 30\text{ m}^2$，該選項為真。 $(3)$ $f(t)=4 \implies t=2$。$f(t)=12 \implies 2^t=12 \implies t=\log_2 12 = 2+\log_2 3 \approx 3.585$。所需時間為 $3.585 - 2 = 1.585 \ne 1.5$ 個月，該選項為假。 $(4)$ $2^{t_1} = 2$，$2^{t_2} = 3$，$2^{t_3} = 6$。因為 $2^{t_1+t_2} = 2^{t_1} \cdot 2^{t_2} = 2 \cdot 3 = 6 = 2^{t_3}$，故 $t_1 + t_2 = t_3$ 成立，該選項為真。 $(5)$ 因為底數大於 $1$，函數圖形呈凹向上，增長速度隨時間變快。因此第 $2$ 到第 $4$ 個月的平均速度大於第 $1$ 到第 $3$ 個月，該選項為假。 故選 $(1)(2)(4)$。