91學測數學多選第10題詳解

張貼觀察相關的函數圖形，我們可以透過觀察指數函數 $y=10^x$、直線 $y=x$、$y=-x$ 及二次函數 $y=x^2$ 的圖形來判斷： $(1)$ 錯誤：當 $x \le 0$ 時，$10^x > 0 \ge x$；當 $x > 0$ 時，指數函數的增長速度遠大於直線 $y=x$，兩圖形無交點，即 $10^x=x$ 無實數解。 $(2)$ 正確：考慮 $y=10^x$ 與 $y=x^2$。當 $x < 0$ 時，前者從 $0$ 開始遞增，後者從 $\infty$ 開始遞減至 $0$，兩圖形在第二象限必有交點，故有實數解。 $(3)$ 正確：由 $(1)$ 的分析可知，對所有實數 $x$，$10^x > x$ 恆成立。 $(4)$ 正確：當 $x > 0$ 時，比較 $10^x$ 與 $x^2$。在 $x=0$ 時 $10^0=1>0$，且指數函數增長速度遠快於二次函數，因此 $10^x > x^2$ 恆成立。 $(5)$ 正確：$y=10^x$ 恆為正且遞增，$y=-x$ 在 $x<0$ 時為正且遞減，兩者在第二象限必有交點，故有實數解。 故選 $(2)(3)(4)(5)$。