設 $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} f(x)\dfrac{|x|}{x}=L$ 存在。因為對所有 $x\neq 0$，都有 $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{|x|}$，所以選項 $(2)$ 的極限即為已知極限，必存在。 $(1)$ $\left(\dfrac{x}{|x|}\right)^2=1$，故 $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{x}{|x|}\right)^2$ 存在。 $(2)$ $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} f(x)\dfrac{x}{|x|}=L$，存在。 $(3)$ 由已知可得 $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=L$，$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-L$。因此右極限為 $L+1$，左極限為 $L-1$，不一定存在。 $(4)$ $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ 的右極限為 $L$，左極限為 $-L$，不一定存在。 $(5)$ $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)^2=L^2$，$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)^2=(-L)^2=L^2$，故 $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)^2$ 存在。 正確選項為 $(1)(2)(5)$。