107指考數學甲多選第8題詳解

設 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\frac{|x|}{x}=L$ 存在。因為對所有 $x\neq 0$ 都有 $\frac{|x|}{x}=\frac{x}{|x|}$，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\frac{x}{|x|}=L$ 也存在。 又由已知可得 $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=L$，$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=-L$（因為當 $x>0$ 時 $\frac{|x|}{x}=1$，當 $x<0$ 時 $\frac{|x|}{x}=-1$）。 選項 $(1)$：因為 $(\frac{x}{|x|})^2=1$ 對所有 $x\neq0$ 恆成立，所以極限存在且為 $1$。正確。 選項 $(2)$：如上述，極限等於 $L$，存在。正確。 選項 $(3)$：右極限為 $L+1$，左極限為 $L-1$，因為 $L+1\neq L-1$，所以極限不一定存在。錯誤。 選項 $(4)$：右極限為 $L$，左極限為 $-L$，除非 $L=0$ 否則極限不存在。錯誤。 選項 $(5)$：$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)^2=L^2$，$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)^2=(-L)^2=L^2$，左右極限相等，所以極限存在。正確。 故選 $(1)(2)(5)$。