98指考數學甲多選第6題詳解

$f(x)$ 為四次多項式，$f'(x)$ 為三次，$f''(x)$ 為二次。 選項 $(1)$：因為 $(-1,2)$ 和 $(1,2)$ 為反曲點，所以 $f''(-1)=0$，$f''(1)=0$。設 $f''(x)=k(x+1)(x-1)=k(x^2-1)$（$k\neq 0$），故 $x+1$ 為 $f''(x)$ 的因式。$(1)$ 正確。 選項 $(2)(3)$：積分得 $f'(x)=\int k(x^2-1)\,dx=\frac{k}{3}x^3-kx+C$。 由 $f'(-1)=1$：$-\frac{k}{3}+k+C=1$ 由 $f'(1)=-1$：$\frac{k}{3}-k+C=-1$ 兩式相加得 $2C=0$，$C=0$。因此 $f'(x)=\frac{k}{3}x^3-kx$。 常數項 $C=0$，$(2)$ 錯誤。 $f'(-x)=-f'(x)$ 為奇函數，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：由 $f'(1)=-1$：$\frac{k}{3}-k=-\frac{2k}{3}=-1$，$k=\frac{3}{2}$。 $f(x)=\int(\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x)\,dx=\frac{1}{8}x^4-\frac{3}{4}x^2+C_2$。 首項係數為 $\frac{1}{8}\neq 1$，$(4)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)$。