設實係數四次多項式為 $f(x)$，則其一階導函數 $f'(x)$ 為三次多項式，二階導函數 $f''(x)$ 為二次多項式。 - **對於選項 (1)**： 函數圖形在 $(-1,2)$ 和 $(1,2)$ 各有反曲點，因此： $f''(-1) = 0$ 且 $f''(1) = 0$。 因為 $f''(x)$ 是二次多項式，必可設為： $f''(x) = k(x+1)(x-1) = k(x^2 - 1)$ （其中 $k$ 為實數且 $k \neq 0$）。 因此， $x+1$ 是 $f''(x)$ 的因式。選項 (1) 正確。 - **對於選項 (2) 與 (3)**： 對 $f''(x)$ 進行積分，可得一階導函數： $f'(x) = \int k(x^2 - 1) dx = \dfrac{k}{3}x^3 - kx + C$ （其中 $C$ 為常數）。 已知圖形在 $(-1,2)$ 和 $(1,2)$ 的切線斜率分別為 $1$ 和 $-1$，即： $f'(-1) = 1 \implies \dfrac{k}{3}(-1)^3 - k(-1) + C = 1 \implies -\dfrac{k}{3} + k + C = 1$ $f'(1) = -1 \implies \dfrac{k}{3}(1)^3 - k(1) + C = -1 \implies \dfrac{k}{3} - k + C = -1$ 將上述二式相加： $2C = 0 \implies C = 0$。 - 由於常數項 $C = 0$，選項 (2) 錯誤。 - 將 $C=0$ 代入得 $f'(x) = \dfrac{k}{3}x^3 - kx$，此函數只有奇次方項，因此 $f'(x)$ 為奇函數，滿足： $f'(-x) = -f'(x)$。選項 (3) 正確。 - **對於選項 (4)**： 由 $f'(1) = \dfrac{k}{3} - k = -1 \implies -\dfrac{2}{3}k = -1 \implies k = \dfrac{3}{2}$。 將 $k$ 代入得一階導函數： $f'(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{2}x$。 對 $f'(x)$ 進行積分可求得 $f(x)$： $f(x) = \int \left(\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{2}x\right) dx = \dfrac{1}{8}x^4 - \dfrac{3}{4}x^2 + C_2$。 因此， $f(x)$ 的首項係數為 $\dfrac{1}{8} \neq 1$。選項 (4) 錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(1)(3)$。