112學測數學A多選第11題詳解

因為旋轉矩陣與鏡射矩陣的標準形式分別為： $$A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix},\;C=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix},\;D=\begin{bmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}.$$ 所以可逐一檢驗各選項： $(1)$ 錯誤：$A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}$，$C\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，映射結果不同。 $(2)$ 正確：$A=-B$，兩矩陣各分量互為相反數。 $(3)$ 錯誤：$D$ 是鏡射矩陣，$D^{-1}=D$，但 $C\neq D$，所以 $C\neq D^{-1}$。 $(4)$ 錯誤：$AB=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}=I$，但 $CD=\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}=-I$，$AB\neq CD$。 $(5)$ 正確：$AC=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$，$BD=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}$，兩者相等。 故選 $(2)(5)$。