104指考數學甲選填第11題詳解

利用期望值的線性性質。從 $n$ 球中同時抽取 $3$ 球： 紅球被抽到的期望顆數 $= 3 \cdot \frac{1}{n} = \frac{3}{n}$ 藍球被抽到的期望顆數 $= 3 \cdot \frac{2}{n} = \frac{6}{n}$ 白球被抽到的期望顆數 $= 3 \cdot \frac{n-3}{n}$ 因為得分為紅球 $2n$ 分、藍球 $n$ 分、白球 $1$ 分，所以期望分數： $$\begin{aligned} &= E_n = 2n \cdot \frac{3}{n} + n \cdot \frac{6}{n} + 1 \cdot \frac{3(n-3)}{n} \\[4pt] &= = 6 + 6 + \frac{3n - 9}{n} = 12 + 3 - \frac{9}{n} = 15 - \frac{9}{n} \end{aligned}$$ 因為 $\frac{9}{n} \to 0$，所以當 $n \to \infty$ 時，$\displaystyle\lim_{n\to\infty} E_n = 15$。