設圓的圓心為 $O(h, k)$，半徑為 $R$。 直線 $L: 4x+3y-14=0$ 與圓相切於切點 $P(-1, 6)$。 這表示通過切點 $P$ 且與切線 $L$ 垂直的直線（即法線）必通過圓心 $O$。 切線 $L$ 的法向量為 $(4, 3)$，因此法線的參數式可寫成： $$\begin{cases} h = 4t - 1 \\ k = 3t + 6 \end{cases} \ (t \in \mathbb{R})$$ 圓心 $O$ 坐標為 $(-1+4t, \ 6+3t)$。 圓心 $O$ 到切點 $P(-1, 6)$ 的距離即為半徑 $R$： $$R^2 = OP^2 = (4t)^2 + (3t)^2 = 25t^2$$ 又圓通過點 $Q(-2, 7)$，所以圓心 $O$ 到 $Q$ 的距離平方亦為 $R^2$： $$OQ^2 = R^2 \implies (h - (-2))^2 + (k - 7)^2 = 25t^2$$ 將 $h = 4t-1$ 且 $k = 3t+6$ 代入上式： $$(4t-1+2)^2 + (3t+6-7)^2 = 25t^2$$ $$(4t+1)^2 + (3t-1)^2 = 25t^2$$ $$16t^2 + 8t + 1 + 9t^2 - 6t + 1 = 25t^2$$ $$25t^2 + 2t + 2 = 25t^2 \implies 2t + 2 = 0 \implies t = -1$$ 將 $t = -1$ 代回圓心坐標與半徑： - 圓心 $O = (-1 - 4, \ 6 - 3) = (-5, \ 3)$。 - 半徑平方 $R^2 = 25(-1)^2 = 25$。 因此，此圓的方程式為： $$(x+5)^2 + (y-3)^2 = 25 \implies x^2 + 10x + 25 + y^2 - 6y + 9 = 25$$ $$x^2 + y^2 + 10x - 6y + 9 = 0$$ 與標準形式 $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ 對照，可得： $$a = 10, \ b = -6, \ c = 9$$