96指考數學甲選填第10題詳解

1. 設圓心為 $O(h,k)$，半徑為 $R$。直線 $L:4x+3y-14=0$ 與圓相切於 $P(-1,6)$，因此通過 $P$ 且垂直於切線的法線必通過圓心。法線的參數式為 $$ \begin{cases} h=4t-1\\ k=3t+6 \end{cases} \;(t\in\mathbb{R})。 $$ 2. 由 $\overline{OP}^2=25t^2$，因為圓通過 $Q(-2,7)$，所以 $$ \begin{aligned} (4t+1)^2+(3t-1)^2&=25t^2\\ 25t^2+2t+2&=25t^2\\ t&=-1。 \end{aligned} $$ 3. 代回可得圓心 $O=(-5,3)$、$R^2=25$，故 $$ (x+5)^2+(y-3)^2=25 \implies x^2+y^2+10x-6y+9=0。 $$ 與標準形式對照，得到 $$ a=10,\; b=-6,\; c=9。 $$