設 $h(x) = f(x) - g(x)$。 因為 $f(x)$ 為首項係數為正的三次多項式，而 $g(x)$ 為一次函數，故 $h(x)$ 也是首項係數為正的三次多項式。 因為 $y = f(x)$ 與 $y = g(x)$ 在 $x = 1$ 處相切，表示 $h(1) = 0$ 且 $h'(1) = 0$，故 $x = 1$ 為 $h(x) = 0$ 的重根（至少雙重根）。 又題目給定兩圖形「只有一個交點」，代表 $x = 1$ 也是方程式 $h(x) = 0$ 的唯一實根。這強迫 $x = 1$ 必須是三重根！ 因此我們可以將 $h(x)$ 寫成： $$h(x) = k(x - 1)^3$$ 其中 $k > 0$。 由此可得： 1. $f(1) - g(1) = h(1) = 0 \implies f(1) = g(1)$，故 $(1)$ 正確。 2. $f'(1) - g'(1) = h'(1) = 3k(1 - 1)^2 = 0 \implies f'(1) = g'(1)$，故 $(2)$ 正確。 3. $h''(x) = 6k(x - 1) \implies h''(1) = f''(1) - g''(1) = 0$。因為 $g(x)$ 是直線，其二階導數 $g''(x) = 0$ 恆成立，故 $f''(1) = 0$，故 $(3)$ 正確。 4. 若存在 $a \neq 1$ 使得 $f'(a) = g'(a) \implies h'(a) = 0 \implies 3k(a - 1)^2 = 0 \implies a = 1$，這與 $a \neq 1$ 矛盾，故 $(4)$ 錯誤。 5. 若存在 $a \neq 1$ 使得 $f''(a) = g''(a) \implies h''(a) = 0 \implies 6k(a - 1) = 0 \implies a = 1$，這與 $a \neq 1$ 矛盾，故 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(1)(2)(3)$。