將方程式 $z^n + z^{-n} + 2 = 0$ 同乘以 $z^n$，得 $(z^n)^2 + 2z^n + 1 = 0$。 此方程式可配方為 $(z^n + 1)^2 = 0$，故 $z^n = -1$。 將 $z$ 表為極式：$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$，則由棣美弗定理得： $$z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta) = -1 = 1(\cos \pi + i \sin \pi)$$ (1) 正確。因為 $r > 0$，由 $r^n = 1$ 得 $r = 1$。 (2) 錯誤。對於任意正整數 $n$（不論奇偶），該方程式均有解。 (3) 錯誤。滿足 $z^n = -1$ 的解恰有 $n$ 個，而非 $2n$ 個。 (4) 正確。由 $n\theta = \pi + 2k\pi$，得 $\theta = \dfrac{(2k+1)\pi}{n}$（其中 $k$ 為整數）。若 $\theta = \dfrac{3\pi}{7}$，則 $\dfrac{2k+1}{n} = \dfrac{3}{7}$，當 $n = 7, k = 1$ 時滿足，故 $\theta$ 可能是 $\dfrac{3\pi}{7}$。 (5) 錯誤。若 $\theta = \dfrac{4\pi}{7}$，則 $\dfrac{2k+1}{n} = \dfrac{4}{7} \implies 7(2k+1) = 4n$。因為等號左邊為奇數，等號右邊為偶數，無整數解，故 $\theta$ 不可能是 $\dfrac{4\pi}{7}$。 故選 $(1)(4)$。