90學測數學多選第10題詳解

$(1)$ 正確：由 $z^6 = 1 \implies |z^6| = |z|^6 = 1 \implies |z| = 1$。 $(2)$ 錯誤：舉反例，若 $z = \cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}$，滿足 $z^6=1$，但 $z^2 = \cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3} \ne 1$。 $(3)$ 正確：因 $z^6 - 1 = (z^3 - 1)(z^3 + 1) = 0$，故 $z^3 = 1$ 或 $z^3 = -1$。 $(4)$ 正確：$|z^4| = |z|^4 = 1$。 $(5)$ 正確：由因式分解 $z^6 - 1 = (z - 1)(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5) = 0$。因為 $z \ne 1 \implies z - 1 \ne 0$，方程式同除以 $(z-1)$ 可得 $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 = 0$。 故正確選項為 $(1)(3)(4)(5)$。