106指考數學甲選填第8題詳解

根據賽程圖（忠與孝在左半區第一輪對決，仁與愛在右半區第一輪對決）： 孝班要獲得任何獎金，必須在第一輪擊敗忠班。孝班勝過忠班的機率為 $\dfrac{1}{5}$。 情況 1：孝班獲得冠軍（獲得 $6000$ 元獎學金） 孝班在第一輪勝過忠班（機率 $\dfrac{1}{5}$），且在第二輪（決賽）擊敗右半區勝出的仁或愛班（勝率仍為 $\dfrac{1}{5}$）。 其機率為： $$P(\text{冠軍}) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25}$$ 情況 2：孝班獲得亞軍（獲得 $4000$ 元獎學金） 孝班在第一輪勝過忠班（機率 $\dfrac{1}{5}$），但在第二輪（決賽）輸給右半區勝出的仁或愛班（機率 $\dfrac{4}{5}$）。 其機率為： $$P(\text{亞軍}) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{25}$$ 計算期望值： $$E = 6000 \times \dfrac{1}{25} + 4000 \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{6000 + 16000}{25} = \dfrac{22000}{25} = 880 \text{ 元}$$ 故填 $880$。