106指考數學甲選填第9題詳解

1. $L_1$ 的斜率 $m_1=\frac{3}{4}$，$L_2$ 的斜率 $m_2=-\frac{4}{3}$。因為 $m_1\times m_2=\frac{3}{4}\times(-\frac{4}{3})=-1$，所以 $L_1\perp L_2$。 2. 設 $L_1$ 與 $L_2$ 的交點為 $A$，水平線 $L$ 分別交 $L_1$、$L_2$ 於 $B$、$C$。因為 $L_1\perp L_2$，所以 $\triangle ABC$ 為直角三角形，$\angle BAC=90^\circ$，$\overline{BC}$ 為斜邊，長度為 $30$。 3. 設 $L_1$ 與水平線 $L$ 的夾角為 $\theta$。因為 $L_1$ 的斜率為 $\frac{3}{4}$，所以 $\tan\theta=\frac{3}{4}$，得 $\sin\theta=\frac{3}{5}$、$\cos\theta=\frac{4}{5}$。 4. 在直角三角形 $\triangle ABC$ 中： $$\overline{AB}=\overline{BC}\cos\theta=30\times\frac{4}{5}=24$$ $$\overline{AC}=\overline{BC}\sin\theta=30\times\frac{3}{5}=18$$ 5. 面積為 $\frac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{AC}=\frac{1}{2}\times 24\times 18=216$。 故填 $216$。