102 學測數學第 13 題

Question

設 $k$ 為一整數。已知 $\dfrac{k}{3} < \sqrt{31} < \dfrac{k+1}{3}$，則 $k = 	ext{____}$。

Accepted Answer

答案：16
將不等式同乘以 $3$ 可得：
$$k < 3\sqrt{31} < k+1$$
將 $3$ 移入根號內整理：
$$k < \sqrt{9 	imes 31} < k+1 \implies k < \sqrt{279} < k+1$$
因為 $16^2 = 256$ 且 $17^2 = 289$，所以有：
$$16 < \sqrt{279} < 17$$
對照不等式，可得整數 $k = 16$。