設 $2^{20}-1$ 與 $2^{19}+1$ 的最大公因數為 $d$，即 $d = \gcd(2^{20}-1, 2^{19}+1)$。 利用輾轉相除法（或整除性質）： $$2^{20}-1 = 2(2^{19}+1) - 3$$ 因此，$d$ 必須能整除 $(2^{20}-1) - 2(2^{19}+1) = -3$。因為最大公因數為正數，所以 $d$ 只能是 $1$ 或 $3$。 接著檢驗 $2^{19}+1$ 是否能被 $3$ 整除： 由於 $2 \equiv -1 \pmod{3}$，因此： $$2^{19}+1 \equiv (-1)^{19}+1 \equiv -1+1 \equiv 0 \pmod{3}$$ 這說明 $2^{19}+1$ 是 $3$ 的倍數。同理， $$2^{20}-1 \equiv (-1)^{20}-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{3}$$ 這說明 $2^{20}-1$ 也是 $3$ 的倍數。因此，它們的最大公因數為 $3$。