102 學測數學第 14 題

Question

設 $a$、$b$ 為實數且 $(a+bi)(2+6i) = -80$，其中 $i^2 = -1$。則 $(a,b) = (	ext{____}, 	ext{____})$。

Accepted Answer

答案：$-4, 12$
利用複數的除法計算：
$$a + bi = \dfrac{-80}{2 + 6i} = \dfrac{-80(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} = \dfrac{-80(2 - 6i)}{2^2 + 6^2}$$
$$a + bi = \dfrac{-80(2 - 6i)}{4 + 36} = \dfrac{-80(2 - 6i)}{40} = -2(2 - 6i) = -4 + 12i$$
比較實部與虛部，可得：
$a = -4$，$b = 12$。\
故 $(a,b) = (-4, 12)$。