94 指考數學甲第 3 題

Question

令 $i = \sqrt{-1}$，$\bar{z}$ 表複數 $z$ 的共軛複數。在複數平面上，所有滿足方程式 $(1+i)z - (1-i)\bar{z} = 0$ 的複數 $z$，會形成下列哪種的圖形？

Accepted Answer

答案：$(3)$
設複數 $z = x + yi$，其中 $x, y \in \mathbb{R}$。則其共軛複數 $\bar{z} = x - yi$。
代入方程式：
$$(1+i)(x+yi) - (1-i)\bar{z} = 0$$
展開各項：
$$(x - y + (x+y)i) - (x - y - (x+y)i) = 0$$
化簡兩項相減：
$$2(x+y)i = 0$$
由於 $i 
e 0$，因此：
$$x + y = 0$$
此方程式在複數平面（以實部為 $x$ 軸，虛部為 $y$ 軸）上代表一條直線（其方程式為 $y = -x$）。
故選 $(3)$。