1. 一個 $2 \times 3$ 階矩陣有 $2$ 列 $3$ 行。 2. 每一列有 $3$ 個元素，每個元素只能是 $0$ 或 $1$。因此每一列的所有可能排列共有 $$2^3 = 8\text{ 種}$$。 3. 題目要求「各列的元素不能全為零」，即排除全零列 $(0, 0, 0)$。因此，每一列的合法選擇剩下 $$8 - 1 = 7\text{ 種}$$。 4. 題目又要求「第一列與第二列不相同」： - 第一列可以任意選擇 $7$ 種合法列之一。 - 第二列必須與第一列不同，因此有 $$7 - 1 = 6\text{ 種}$$ 選擇。 5. 根據乘法原理，符合條件的矩陣共有 $$7 \times 6 = 42\text{ 個}$$。