1. 點 $P$ 的向量線性組合為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = x \overset{\large\rightharpoonup}{u} + y \overset{\large\rightharpoonup}{v}$$。設區域由兩個線性無關的向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 所張成。 2. 由向量線性組合且係數限制在區間內所構成的區域 $\Omega$，其形狀為平行四邊形。其面積滿足公式： $$\text{面積} = |x_2 - x_1| \cdot |y_2 - y_1| \cdot |\det(\overset{\large\rightharpoonup}{u}, \overset{\large\rightharpoonup}{v})|$$。 3. 計算 $$\overset{\large\rightharpoonup}{u} = (1, 2)$$ 與 $$\overset{\large\rightharpoonup}{v} = (3, 4)$$ 所張之平行四邊形面積（即行列式絕對值）： $$\left| \det(\overset{\large\rightharpoonup}{u}, \overset{\large\rightharpoonup}{v}) \right| = \left| \det\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \right| = |1 \times 4 - 2 \times 3| = |4 - 6| = |-2| = 2$$。 4. 計算係數範圍的區間長度： - $x$ 範圍為 $[\frac{1}{2}, 1]$，長度為 $$1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$$。 - $y$ 範圍為 $[-3, \frac{1}{2}]$，長度為 $$\dfrac{1}{2} - (-3) = \dfrac{7}{2}$$。 5. 代入面積公式： $$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{2} \times 2 = \dfrac{7}{2}\text{ 平方單位}$$。 （已為最簡分數）。