設 $C$ 點的坐標為 $(12, y)$。 因為 $ABCD$ 為平行四邊形，所以向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 等於 $\overset{\large\rightharpoonup}{DC}$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = B - A = (8 - 2, 2 - 1) = (6, 1)$$ 故 $D = C - \overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (12 - 6, y - 1) = (6, y - 1)$。 此時，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = D - A = (6 - 2, y - 1 - 1) = (4, y - 2)$。 平行四邊形 $ABCD$ 的面積為由向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD}$ 所構成的行列式絕對值： $$\text{面積} = \left| \det\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 4 & y - 2 \end{pmatrix} \right| = |6(y - 2) - 4| = |6y - 16| = 38$$ 我們解此絕對值方程式： - 若 $6y - 16 = 38 \implies 6y = 54 \implies y = 9$ - 若 $6y - 16 = -38 \implies 6y = -22 \implies y = -\dfrac{11}{3}$ 由於已知點 $C$ 在第一象限，故其縱坐標 $y$ 必須大於 $0$，因此 $y = -\dfrac{11}{3}$ 不合，取 $y = 9$。 因此點 $D$ 的坐標為 $(6, 9 - 1) = (6, 8)$。 故填 $(6, 8)$。