99學測數學選填第13題詳解

1. 設 $C(12,y)$，$D(x_D,y_D)$。因為 $ABCD$ 為平行四邊形，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=\overset{\large\rightharpoonup}{DC}$。 2. $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(8-2,2-1)=(6,1)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{DC}=(12-x_D,y-y_D)$。因此 $$12-x_D=6\;\implies\;x_D=6,\; y-y_D=1\;\implies\;y_D=y-1$$ 3. 平行四邊形面積 $=|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\times\overset{\large\rightharpoonup}{AD}|$。$\overset{\large\rightharpoonup}{AD}=(x_D-2,y_D-1)=(4,y-2)$。 $$\text{面積}=\left|\begin{vmatrix}6 & 1\\ 4 & y-2\end{vmatrix}\right|=|6(y-2)-4|=|6y-16|=38$$ 4. 因為 $|6y-16|=38$，所以 $6y-16=38$ 或 $6y-16=-38$： $$\begin{aligned} 6y-16=38&\;\implies\;6y=54\;\implies\;y=9\\[4pt] 6y-16=-38&\;\implies\;6y=-22\;\implies\;y=-\frac{11}{3} \end{aligned}$$ 因為 $C$ 在第一象限（$y>0$），所以取 $y=9$，則 $y_D=8$。 故 $D(6,8)$。