我們逐一分析各推論是否正確： $(1)$ 抽樣調查所得的比例 $\hat{p}$ 為樣本比例，在沒有進行假設檢定前，不能直接斷定「全台灣」母體的比例大小關係，選項 $(1)$ 錯誤。 $(2)$ 在 $95\%$ 的信心水準下，信賴區間為 $\left[ \hat{p} - 2\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + 2\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$。 女性公民的信賴區間為： $$\left[ 0.52 - 2(0.02), 0.52 + 2(0.02) \right] = [0.48, 0.56]$$ 選項 $(2)$ 正確。 $(3)$ 設抽樣的女性公民數為 $n_F$，男性公民數為 $n_M$。 由標準差公式可知： $$\sqrt{\dfrac{0.52 \times 0.48}{n_F}} = 0.02 \implies \dfrac{0.2496}{n_F} = 0.0004 \implies n_F = 624$$ $$\sqrt{\dfrac{0.59 \times 0.41}{n_M}} = 0.04 \implies \dfrac{0.2419}{n_M} = 0.0016 \implies n_M \approx 151$$ 因為 $n_F = 624 > n_M = 151$，所以女性公民數多於男性公民數，選項 $(3)$ 錯誤。 $(4)$ 若不區分性別，此次抽樣全體的贊成比例 $\hat{p}$ 為兩者之加權平均： $$\hat{p} = \dfrac{n_F \hat{p}_F + n_M \hat{p}_M}{n_F + n_M}$$ 由於是加權平均，其值必介於女性比例 $0.52$ 與男性比例 $0.59$ 之間，選項 $(4)$ 正確。 $(5)$ 不區分性別時，全體抽樣人數 $n = 624 + 151 = 775$。 全體贊成比例 $\hat{p} \approx \dfrac{624 \times 0.52 + 151 \times 0.59}{775} \approx 0.534$。 其全體標準差為： $$\sqrt{\dfrac{0.534 \times (1 - 0.534)}{775}} = \sqrt{\dfrac{0.2488}{775}} \approx \sqrt{0.000321} \approx 0.018$$ 其標準差小於 $0.02$，因此不會介於 $0.02$ 與 $0.04$ 之間，選項 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確的選項為 $(2)(4)$。