設原點 $O(0,0,0)$ 在直線 $L$ 上的投影點為 $H(x_H, y_H, z_H)$。 因為直線 $L$ 落在平面 $E: 2x - y = 2$ 上，所以投影點 $H$ 必然也在平面 $E$ 上。 我們先檢驗各選項中的點是否滿足平面方程式 $2x - y = 2$： $(1)$ $(2, 2, 2)$：$2(2) - 2 = 2$（符合） $(2)$ $(2, 0, 2)$：$2(2) - 0 = 4 \neq 2$（不符） $(3)$ $\left(\dfrac{4}{5}, -\dfrac{2}{5}, 0\right)$：$2\left(\dfrac{4}{5}\right) - \left(-\dfrac{2}{5}\right) = 2$（符合） $(4)$ $\left(\dfrac{4}{5}, -\dfrac{2}{5}, -2\right)$：$2\left(\dfrac{4}{5}\right) - \left(-\dfrac{2}{5}\right) = 2$（符合） $(5)$ $\left(\dfrac{8}{9}, -\dfrac{2}{9}, -\dfrac{2}{9}\right)$：$2\left(\dfrac{8}{9}\right) - \left(-\dfrac{2}{9}\right) = 2$（符合） 排除 $(2)$。接著，因為 $H$ 是 $O$ 在直線 $L$ 上的投影點，且直線 $L$ 通過點 $A(2, 2, 2)$，所以向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OH}$ 必然垂直於直線 $L$ 的方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{HA}$（或 $\overset{\large\rightharpoonup}{AH}$）。 因此其內積必須為零： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OH} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{HA} = 0 \implies (x_H, y_H, z_H) \cdot (2 - x_H, 2 - y_H, 2 - z_H) = 0$$ $$\implies x_H^2 + y_H^2 + z_H^2 = 2(x_H + y_H + z_H)$$ 我們分別檢驗賸餘選項的點是否符合此內積條件： - 對於 $(1)$ $(2, 2, 2)$： 左式 $= 2^2 + 2^2 + 2^2 = 12$；右式 $= 2(2 + 2 + 2) = 12$。兩者相等，符合。 - 對於 $(3)$ $\left(\dfrac{4}{5}, -\dfrac{2}{5}, 0\right)$： 左式 $= \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 + \left(-\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$；右式 $= 2\left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} + 0\right) = \dfrac{4}{5}$。兩者相等，符合。 - 對於 $(4)$ $\left(\dfrac{4}{5}, -\dfrac{2}{5}, -2\right)$： 左式 $= \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 + \left(-\dfrac{2}{5}\right)^2 + (-2)^2 = \dfrac{20}{25} + 4 = \dfrac{24}{5}$；右式 $= 2\left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} - 2\right) = -\dfrac{16}{5}$。兩者不相等，不符。 - 對於 $(5)$ $\left(\dfrac{8}{9}, -\dfrac{2}{9}, -\dfrac{2}{9}\right)$： 左式 $= \left(\dfrac{8}{9}\right)^2 + \left(-\dfrac{2}{9}\right)^2 + \left(-\dfrac{2}{9}\right)^2 = \dfrac{72}{81} = \dfrac{8}{9}$；右式 $= 2\left(\dfrac{8}{9} - \dfrac{2}{9} - \dfrac{2}{9}\right) = \dfrac{8}{9}$。兩者相等，符合。 綜上所述，可能的點為 $(1)(3)(5)$。