100指考數學乙選填第8題詳解

根據投擲規則： - 數字為 $0,1,2,3,4$ 對應正面； - 數字為 $5,6,7,8,9$ 對應反面。 分析該同學拿到的亂數序列 $0612\ 9683\ 4251\ 9138$： - $0$（正）、$6$（反）、$1$（正）、$2$（正） - $9$（反）、$6$（反）、$8$（反）、$3$（正） - $4$（正）、$2$（正）、$5$（反）、$1$（正） - $9$（反）、$1$（正）、$3$（正）、$8$（反） 正面的總個數為 $9$ 個，投擲次數 $n=16$。 正面出現機率之估計值： $$\hat{p} = \frac{9}{16}$$ 計算信賴區間的半寬度： $$2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 2\sqrt{\frac{\frac{9}{16} \times \frac{7}{16}}{16}} = 2\sqrt{\frac{63}{16^3}} = 2 \times \frac{3\sqrt{7}}{16 \times 4} = \frac{3\sqrt{7}}{32}$$ 因為上述推導，所以對照題目要求的形式 $\frac{a\sqrt{b}}{32}$，比對可得： $$a = 3,\ b = 7$$ （$b=7$ 為質數，合乎最簡根式之要求。）。