依據統計學中的比例估計與信賴區間概念逐一分析各選項： 1. **選項 (1)**：由表格可知，高一、高二、高三學生要參加課外活動社團的比例分別為 $66\%$、$52\%$、$22\%$，比例隨年級增加而遞減，故此選項正確。 2. **選項 (2)**：已知該縣市高一、高二、高三的學生人數幾乎一樣多，且各年級隨機抽樣的樣本數皆為 $n = 1067$。因此，全體高中生要參加社團的比例估計值，可直接由三者之算術平均數估算： $$\hat{p}_{\text{全體}} = \dfrac{66\% + 52\% + 22\%}{3} = \dfrac{140\%}{3} \approx 46.7\%$$ 故此選項正確。 3. **選項 (3)**：在 $95\%$ 信心水準下，各年級學生要參加社團比例的信賴區間公式為： $$\left[ \hat{p} - 2\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \; \hat{p} + 2\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$$ 由於各年級的樣本比例 $\hat{p}$ 與樣本數 $n = 1067$ 皆為已知常數，因此每一組信賴區間皆可被算出，故此選項正確。 4. **選項 (4) 與 (5)**： 信賴區間的寬度（長度）為： $$L = 4\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ 當樣本數 $n = 1067$ 固定時，區間長度由值 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 決定。二次函數 $f(p) = p(1-p)$ 在 $p = 0.5$ 時有最大值；因此 $\hat{p}$ 越接近 $0.5$，信賴區間越長；$\hat{p}$ 越偏離 $0.5$（即越接近 $0$ 或 $1$），信賴區間越短。計算各年級的 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 值： - **高一**：$0.66 \times (1 - 0.66) = 0.66 \times 0.34 = 0.2244$ - **高二**：$0.52 \times (1 - 0.52) = 0.52 \times 0.48 = 0.2496$（最接近 $0.5$，信賴區間最長） - **高三**：$0.22 \times (1 - 0.22) = 0.22 \times 0.78 = 0.1716$（最偏離 $0.5$，信賴區間最短） 由此可知，信賴區間最長的是高二，而非高一，故選項 $(4)$ 錯誤；信賴區間最短的是高三，故選項 $(5)$ 正確。 由此可知，正確選項為 $(1)$、$(2)$、$(3)$、$(5)$。