98指考數學乙多選第6題詳解

三個年級各抽出 $1067$ 人，調查是否支持某項政策。高一、高二、高三的支持率依序為 $66\%$、$52\%$、$22\%$。 $(1)$ 因為支持率由高一到高三依序下降，所以高一的支持率高於高二，高二又高於高三，正確。 $(2)$ 設三個年級的人數分別為 $n_1,n_2,n_3$，則總支持率是加權平均。因為題目給的三組樣本數相同，所以總支持率為 $$ \frac{0.66n_1+0.52n_2+0.22n_3}{n_1+n_2+n_3} =\frac{0.66+0.52+0.22}{3}=\frac{47}{100}, $$ 正確。 $(3)$ 對單一比例的估計，樣本比例的標準誤與 $$ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$ 成正比。因為三個樣本數相同，且 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時最大，所以支持率最接近 $50\%$ 的高二，其信賴區間會最寬，正確。 $(4)$ 高一支持率為 $66\%$，不支持率為 $34\%$；高三支持率為 $22\%$，不支持率為 $78\%$。因為兩者的支持率差為 $44$ 個百分點，不支持率差也為 $44$ 個百分點，所以不能說高一的支持率是高三的 $3$ 倍，錯誤。 $(5)$ 因為三個年級的樣本數相同，所以支持人數最多的年級就是支持率最高的高一，正確。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。 另解 依據統計學中的比例估計與信賴區間概念逐一分析各選項： 1. 選項 (1)：由表格可知，高一、高二、高三學生要參加課外活動社團的比例分別為 $66\%$、$52\%$、$22\%$，比例隨年級增加而遞減，故此選項正確。 2. 選項 (2)：已知該縣市高一、高二、高三的學生人數幾乎一樣多，且各年級隨機抽樣的樣本數皆為 $n = 1067$。因此，全體高中生要參加社團的比例估計值，可直接由三者之算術平均數估算： $$\hat{p}_{\text{全體}} = \dfrac{66\% + 52\% + 22\%}{3} = \dfrac{140\%}{3} \approx 46.7\%$$ 故此選項正確。 3. 選項 (3)：在 $95\%$ 信心水準下，各年級學生要參加社團比例的區間： $$\hat{p} - 2\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 2\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ 由於各年級的樣本比例 $\hat{p}$ 與樣本數 $n = 1067$ 皆為已知常數，因此每一組信賴區間皆可被算出，故此選項正確。 4. 選項 (4) 與 (5)： 信賴區間的寬度（長度）為： $$L = 4\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ 當樣本數 $n = 1067$ 固定時，區間長度由值 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 決定。 二次函數 $f(p) = p(1-p)$ 在 $p = 0.5$ 時有最大值；因此 $\hat{p}$ 越接近 $0.5$，信賴區間越長。 $\hat{p}$ 越偏離 $0.5$（即越接近 $0$ 或 $1$），信賴區間越短。計算各年級的 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 值： - 高一：$0.66 \times (1 - 0.66) = 0.66 \times 0.34 = 0.2244$ - 高二：$0.52 \times (1 - 0.52) = 0.52 \times 0.48 = 0.2496$（最接近 $0.5$，信賴區間最長） - 高三：$0.22 \times (1 - 0.22) = 0.22 \times 0.78 = 0.1716$（最偏離 $0.5$，信賴區間最短） 由此可知，信賴區間最長的是高二，而非高一，故選項 $(4)$ 錯誤；信賴區間最短的是高三，故選項 $(5)$ 正確。 由此可知，正確選項為 $(1)$、$(2)$、$(3)$、$(5)$。