98學測數學多選第9題詳解

在 $95\%$ 信心水準下，信賴區間公式為 $\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$，其中 $z_{0.025}\approx1.96$。 $(1)$ 甲地信賴區間中心為 $\frac{0.50+0.58}{2}=0.54$，故樣本比例為 $54\%$，正確。 $(2)$ 兩地信賴區間半寬皆為 $0.04$；乙地樣本比例約為 $0.12$，其 $p(1-p)$ 小於甲地約 $0.54$ 的 $p(1-p)$，所以乙地樣本數較少，正確。 $(3)$ 信賴區間不代表 $95\%$ 的居民聽過該產品，錯誤。 $(4)$ 信賴區間不是母體比例的分佈範圍，錯誤。 $(5)$ 廣告後母體比例可能改變，區間寬度也不一定恰好減半，錯誤。 因為成立的選項為 $(1)(2)$，所以選 $(1)(2)$。